Μέσα από την προσωπική μου εμπειρία διδασκαλίας των μαθηματικών πολύ γρήγορα οδηγήθηκα στην διαπίστωση ότι συχνά και ιδιαίτερα στις μικρότερες ηλικίες (μαθητές έως 12 ετών) προέκυπτε η ανάγκη να εξηγήσω μαθηματικές έννοιες ή να διατηρήσω το ενδιαφέρον των μαθητών ζωντανό παρουσιάζοντας το μάθημα σαν ένα παιχνίδι δράσης στο οποίο ο μαθητής συμμετείχε όχι μόνο πνευματικά, αλλά επίσης συναισθηματικά και σωματικά. Άρχισα λοιπόν να συλλέγω εμπειρίες και παρατηρήσεις πάνω στην ανταπόκριση που είχαν τα παιδιά κάθε φορά που πρότεινα ένα σωματικό παιχνίδι – άσκηση. Η ταυτόχρονη ενασχόλησή μου και αγάπη μου για τις παραστατικές τέχνες είχε σαν αποτέλεσμα πολύ σύντομα να γεννηθεί η ανάγκη για μία βαθύτερη και εκτενέστερη έρευνα πάνω στην σχέση των μαθηματικών με το χορό και το θέατρο. Τον Νοέμβριο του 2009 ανταποκρίθηκα στο κάλεσμα του στούντιο ΚΙΝΗΤΗΡΑΣ για την δημιουργία μιας ομάδας έρευνας με σκοπό την εξερεύνηση μη συμβατικών μεθόδων δημιουργίας κίνησης στη σκηνή. Με την καθοδήγηση των χορογράφων Α. Γύρα και A. Sanschez – Coldberg , την συνεργασία των χορευτριών Α. Δαλαγγέλη και Μ. Καραβά καθώς και την συμμετοχή εθελοντών ενήλικων μαθητών προχώρησα στην εφαρμογή μιας σειράς κινητικών ασκήσεων που είχαν ως αποτέλεσμα την δημιουργία κίνησης μέσα από τα μαθηματικά. Πρότεινα λοιπόν στην ομάδα διάφορες κινητικές ασκήσεις, άλλες με γεωμετρική και άλλες με αλγεβρική βάση, οι οποίες λειτούργησαν διπλά σε όσους συμμετείχαν: αφενός προέκυπτε πολύ ενδιαφέρον κινητικό υλικό (το οποίο τελικά χρησιμοποιήσαμε σαν πρώτη ύλη για την δημιουργία της χορογραφίας “amfibio project”) και αφετέρου έγινε μια πρώτη δοκιμή για το κατά πόσο θα μπορούσαν οι ασκήσεις αυτές να αποτελέσουν εκπαιδευτικό εργαλείο για έναν δάσκαλο μαθηματικών.Η ανακάλυψη της αλήθειας των μαθηματικών εννοιών μπορεί να γίνεται μέσα από δραστικές εμπειρίες. Τα συναισθήματα των μαθητών για τα Μαθηματικά είτε είναι θετικά, είτε αρνητικά το σίγουρο είναι ότι επηρεάζουν καθοριστικά την διαδικασία της μάθησης. Είναι λοιπόν αναγκαίο να δίνεται ιδιαίτερη έμφαση στον συναισθηματικό παράγοντα, προκειμένου η διδασκαλία των Μαθηματικών να γίνει περισσότερο αποτελεσματική.
Ο προσωπικός μου, λοιπόν, στόχος είναι διττός: i) να βρω ερμηνευτικούς τρόπους μετάδοσης των μαθηματικών και με αυτόν τον τρόπο να τα κάνω πιο προσιτά και αγαπητά τόσο στους μαθητές όσο και στους ερμηνευτές και στους θεατές (αντιμετώπιση μαθηματικοφοβίας) και ii) να ερευνήσω νέους τρόπους δημιουργίας χορογραφίας ή ακόμα και θεατρικών εμπειριών για τους μαθητές μου.
Παρακάτω περιγράφονται οι κινητικές ασκήσεις που έφτιαξα και δοκιμάσαμε στο στούντιο του ΚΙΝΗΤΗΡΑ στα πλαίσια του studio χορογραφίας κατά την χρονική περίοδο Νοέμβριος 2009 - Ιούνιος 2010. Όπως προανέφερα στις ασκήσεις αυτές συμμετείχαν ενήλικοι εθελοντές. Τις παρακάτω ασκήσεις τις παρουσίασα στην ομιλία μου στο 27ο Πανελλήνιο Συνέδριο Μαθηματικής Παιδείας με θέμα "Ο δάσκαλος των Μαθηματικών στην Εκπαίδευση, στην Έρευνα και στην Κοινωνία" (Χαλκίδα - 21 Νοεμβρίου 2010). Εδώ έχετε τη δυνατότητα να παρακολουθήσετε και κάποια πολύ ενδιαφέροντα βίντεο που λόγω τεχνικών προβλημάτων δεν κατάφερα να δείξω στο συνέδριο.
Περιγραφή των ασκήσεων
1. Πρώτοι αριθμοί
Η άσκηση με τους πρώτους αριθμούς είχε τρία στάδια.
α) Στο πρώτο στάδιο οι εθελοντές μαθητές ήρθαν σε επαφή με το θεωρητικό υπόβαθρο σχετικά με τους πρώτους αριθμούς, με βάση το διαθεματικό ενιαίο πλαίσιο προγράμματος σπουδών του ΥΠΕΠΘ για το μάθημα των μαθηματικών στο δημοτικό. Η μοναδική ιδιότητα που έχει κάθε σύνθετος αριθμός να αναλύεται κατά μοναδικό τρόπο σε πρώτους παράγοντες, αποτέλεσε έμπνευση για να τους φανταστώ σαν πρόσωπα που κινούνται στο χώρο. Έτσι λοιπόν ζήτησα από την ομάδα ο καθένας να αντιπροσωπεύει ένα πρώτο αριθμό και να προσπαθήσουν κινητικά αλλά αυτοσχεδιαστικά να αποδώσουν το γινόμενο που προκύπτει από την ανάλυση σε πρώτους παράγοντες τυχαίων φυσικών αριθμών. Το γινόμενο αυτό μπορούμε να το θεωρήσουμε σαν την υπογραφή του αριθμού. Τα μέλη της ομάδας όταν τους ζητήθηκε να δημιουργήσουν έναν αριθμό οι κινήσεις που επέλεξαν ήταν περισσότερο στατικές.
β) Στο δεύτερο στάδιο οι μαθητές αυθόρμητα επέλεξαν να κινηθούν στο χώρο.
Εδώ, καθώς και στο προηγούμενο στάδιο, αναπόφευκτα προέκυψαν ερωτήματα σε σχέση με το πώς ο καθένας αντιλαμβάνεται την έννοια ενός αριθμού υψωμένου σε κάποια δύναμη και κυρίως πώς θα μπορούσαμε να εκφράσουμε κινητικά την διαφορά ανάμεσα σε έναν φυσικό αριθμό και στον ίδιο φυσικό αριθμό υψωμένο σε μία δύναμη. Φυσικά, στα δύο αυτά στάδια είναι εμφανής η ύπαρξη εγγενών περιορισμών από την αφαιρετική αντίληψη των υπό μελέτη αλγεβρικών εννοιών. Η άσκηση σαν σκοπό είχε την εξοικείωση του μαθητή με την έννοια του πρώτου αριθμού, την καλλιέργεια της φαντασίας του, ώστε να τολμήσει να απελευθερωθεί κινητικά αποδίδοντας αριθμούς και την δημιουργία μιας πρώτης βάσης για την γέννηση ενός καλλιτεχνικού προϊόντος.
γ) Στο τρίτο στάδιο οι μαθητές επέλεξαν να κάνουν τόσες κινήσεις σε πλήθος όσες ο αριθμός τον οποίο αντιπροσώπευαν.
Έστω ότι το άτομο Α αντιπροσωπεύει τον αριθμό 3 και ο Β αντιπροσωπεύει τον 5. Αν ο Α επιλέξει 3 διαφορετικές κινήσεις και ο Β 5, με συνθήκη ότι έχουν την ίδια τελική κίνηση, θα κάνουν την ίδια κίνηση ταυτόχρονα για πρώτη φορά στο γινόμενο τους δηλαδή στο 15. Οι μαθητές έρχονται για πρώτη φορά σε επαφή με την έννοια των πρώτων αριθμών στην 5η δημοτικού. Αυτό που τους ζητείται σε αυτή την ηλικία είναι να βρούνε το ΕΚΠ κάποιων αριθμών. Για να βρει ο μαθητής το ΕΚΠ π.χ. 3 αριθμών αυτό που πρέπει να κάνει είναι ανάλυση σε πρώτους παράγοντες. Το ΕΚΠ προκύπτει από το γινόμενο των πρώτων παραγόντων. Ένα αντιπροσωπευτικό πρόβλημα γι’ αυτό το επίπεδο μπορεί να είναι το εξής: ο Α, ο Β και ο Γ ξεκίνησαν πρόβες για την παράσταση που ετοιμάζουν. Ο Α θα κάνει πρόβα κάθε 2 μέρες, ο Β κάθε 3 και ο Γ κάθε 5. Πότε θα κάνουν και οι 3 μαζί πρόβα για πρώτη φορά; Η απάντηση είναι αυτό που μαθαίνουν οι μαθητές ως ΕΚΠ και δεν είναι τίποτα άλλο από το γινόμενο αυτών των 3 πρώτων αριθμών (σε 2x3x5=30 μέρες). Στο στάδιο αυτό – σε αντίθεση με τα δύο προηγούμενα – δεν υπήρξαν εννοιολογικές απλουστεύσεις ή περιορισμοί. Οι κινήσεις του κάθε μαθητή ήταν καθορισμένες σε πλήθος και ακολουθία και η ταύτιση της τελευταίας κίνησης του καθενός αποτέλεσε μία ευχάριστη έκπληξη για όλους, αφού ήταν η ορατή αναπαράσταση εύρεσης του ΕΚΠ.
2.Σύνολα αριθμών
Η άσκηση με τα σύνολα των αριθμών είχε πέντε στάδια.
α) Στο πρώτο στάδιο οι εθελοντές μαθητές διδάχτηκαν το κομμάτι της άλγεβρας που τους εισάγει στην θεωρία συνόλων. Η άσκηση είχε σαν στόχο την έρευνα δύο χαρακτηριστικών των συνόλων: i) της συνέχειας (δεν υπάρχουν κενά μεταξύ των αριθμών) και ii) το ότι το κάθε σύνολο εμπεριέχεται στο αμέσως μεγαλύτερο σύνολο.
β) Στο δεύτερο στάδιο μοιράστηκαν τυχαία σε 5 άτομα , 5 καρτέλες. Σε κάθε καρτέλα υπήρχε ο ορισμός κάποιου συνόλου. Ο καθένας επέλεξε ελεύθερα ένα αντιπροσωπευτικό αριθμό από το σύνολο που του έτυχε. Π.χ. ο Α από το σύνολο των φυσικών επέλεξε το 0, ο Β από το σύνολο των ρητών το 1/5 και ο Γ από το σύνολο των πραγματικών το ρίζα 3. Έπειτα ζήτησα από κάθε αριθμό να χτίσει την ιστορία του. Άφησα ελεύθερα άλλους να προσεγγίσουν τον αριθμό τους μέσα από το σχήμα του, μέσα από την έννοιά του, μέσα από το τί συμβολίζει κτλ. Και πάλι στο στάδιο αυτό τονίζεται πως η αναπαράσταση ενός αριθμού κινητικά αποτελεί μία διαδικασία που περισσότερο βοηθά στην ενεργοποίηση της φαντασίας με έναυσμα τους αριθμούς, και όχι σε κάποια υποτιθέμενη αυστηρή αντιστοίχηση του αριθμού με κάποια κίνηση ή αλληλουχία κινήσεων.
γ) Ύστερα δοκίμασα να μετατρέψω σε κίνηση τις έννοιες σύνολο και υποσύνολο ως εξής:
Αυτός που αντιπροσώπευε ένα σύνολο έπρεπε να παρατηρήσει τις κινήσεις των "υποσυνόλων" του και να τις εντάξει στην δική του κίνηση.
δ) Στο τέταρτο στάδιο ζήτησα από κάθε αριθμό να πάρει τη θέση του πάνω σε ένα νοητό καρτεσιανό επίπεδο. Όταν το άτομο που αναπαριστούσε τον αριθμό 0 (την αρχή των αξόνων) μετακινούνταν παρέσυρε μαζί του με συγκεκριμένες πάντα σχέσεις και όλους τους υπόλοιπους διατεταγμένους αριθμούς. Με αυτήν την άσκηση έγιναν κατανοητές οι έννοιες σημείο στο επίπεδο, συντεταγμένες σημείου καθώς και σημείο αναφοράς - αρχή των αξόνων.
3. Γεωμετρικά σχήματα
Η άσκηση με τα γεωμετρικά σχήματα είχε δύο στάδια.
α) Στο πρώτο στάδιο τοποθέτησα στην αίθουσα ισαπέχοντα αντικείμενα τα οποία βρίσκονταν πάνω στην ίδια ευθεία. Ζήτησα από τους εθελοντές ο καθένας να κινηθεί σε κύκλο με κέντρο κάποιο από τα σημεία. Αν κάποιος έβλεπε από πάνω τις κινήσεις τους, θα παρατηρούσε να διαγράφουν τις κυκλικές τροχιές του παρακάτω σχήματος:
Για μένα που ήμουν εξωτερικός παρατηρητής της κίνησής τους, ήταν πάρα πολύ ενδιαφέρον να ξέρω ότι η φαινομενικά χαοτική κίνηση που είχαν, στην πραγματικότητα ήταν πλήρως αυστηρή και συγκεκριμένη. Η άσκηση αυτή επαναλήφθηκε αρκετές φορές σε διάφορες παραλλαγές όπως με αλλαγές στην ταχύτητα, και στη φορά που είχε ο καθένας.
Οι εθελοντές βίωσαν με τα σώματά τους έννοιες όπως ο κύκλος, η τροχιά, το σημείο τομής (σε σχέση με το τελευταίο αποτέλεσε ευχάριστη και διδακτική έκπληξη όταν για πρώτη φορά δύο άτομα που κινούνταν πάνω σε διαφορετικές τροχιές συναντήθηκαν).
β) Στο δεύτερο στάδιο δοκιμάσαμε να δημιουργήσουμε αυστηρές γεωμετρικές σχέσεις μεταξύ των μαθητών. Η άσκηση είχε ως εξής: ενώ κάποιος να κινείται σε κυκλική τροχιά γύρω από ένα ακίνητο άτομο δύο επιπλέον άτομα προσπαθούν να κινούνται σε σχέση με αυτόν έτσι ώστε μονίμως να σχηματίζουν μαζί του άλλοτε ένα ισόπλευρο, ένα ισοσκελές και άλλες φορές ένα ορθογώνιο τρίγωνο. Το πείραμα αυτό έγινε και με την εκδοχή το άτομο που αντιπροσώπευε το κέντρο του κύκλου να κινείται. Η κίνηση του προφανώς επηρέαζε την κίνηση των υπολοίπων.
Όσο περισσότερα άτομα συμμετέχουν σε αυτήν την άσκηση τόσο πιο ενδιαφέρουσα γίνεται. Αν φανταστούμε τους συμμετέχοντες μαθητές σαν κορυφές γεωμετρικών σχημάτων διατεταγμένων στο επίπεδο, τότε μπορούν να σχηματιστούν πολλές γεωμετρικές σχέσεις ανάμεσά τους (τρίγωνα, τετράγωνα, ορθογώνια παραλληλόγραμμα, ρόμβοι). Έστω ένας από αυτούς να κινηθεί θα συμπαρασύρει μαζί του στην κίνηση και όλους τους υπόλοιπους οι οποίοι θα προσπαθούν να διατηρήσουν αυτές τις αυστηρές σχέσεις μεταξύ τους. Και σε αυτή την περίπτωση η κίνηση των ατόμων είναι φαινομενικά μόνο χαοτική, αφού κατ' ουσίαν η κίνηση του καθενός υπόκειται σε συγκεκριμένους γεωμετρικούς κανόνες.
Οι εθελοντές μαθητές μέσα από αυτές τις ασκήσεις κατανόησαν θεμελιώδεις γεωμετρικές έννοιες και ήταν σε θέση να δώσουν αυστηρούς ορισμούς για όλα τα βασικά γεωμετρικά σχήματα.
4. Μαθηματικές ιστορίες και χορός
Παράλληλα με τις παραπάνω ασκήσεις, έγινε μία προσπάθεια να έρθει σε επαφή ο μαθητής – καλλιτέχνης με λογοτεχνικά κείμενα μαθηματικού περιεχομένου. Έτσι ιστορίες για τους πυθαγόρειους φίλους αριθμούς, τη ζωή των μεγάλων μαθηματικών από την αρχαιότητα μέχρι σήμερα, την φιλοσοφία των μαθηματικών αποτέλεσαν πηγή έμπνευσης για την δημιουργία χοροθεατρικών εμπειριών.
Τα παρακάτω βιβλία αποτέλεσαν υλικό και μέσα που με βοήθησαν να εμπνευστώ τα πειράματά μου στην ομάδα, και τροφοδοτούν την φαντασία μου για νέες αναζητήσεις!
1. Numbers - The Universal Language, Denis Guedj, Thames & Hudson , London, 1998.
2. A disappearing number - Complicite, Oberon Books , London, 2009.
3. Flatland - H Επιπεδοχώρα , Edwin A. Abbott, Εκδ. ΑΙΩΡΑ.
4. Ο θείος Πέτρος και η εικασία του Γκόλντμπαχ, Απόστολος Δοξιάδης, Εκδ. Καστανιώτη.
5. LOGICOMIX , Απόστολος Δοξιάδης - Χρίστος Παπαδημητρίου - Αλέκος Παπαδάτος - Annie Di Donna, Εκδ. ΙΚΑΡΟΣ.
6. Μαθηματικά Επίκαιρα, Τεύκρος Μιχαηλίδης, Εκδ. ΠΟΛΙΣ.
7. Πυθαγόρεια Εγκλήματα, Τεύκρος Μιχαηλίδης, Εκδ. ΠΟΛΙΣ.
8. Οι μυστικοί αριθμοί, Ian Stewart, Εκδ. Τραυλός.
Θα εκτιμήσω ιδιαίτερα σχόλια, παρατηρήσεις και κριτική σε όσα παρουσιάζω εδώ. Θα χαρώ πολύ να προκύψει - ιδιαίτερα μεταξύ συναδέλφων μαθηματικών και εκπαιδευτικών - ένας επικοδομητικός διάλογος που θα βοηθήσει στο να γίνουν βήματα εξέλιξης στο τομέα της βιωματικής μάθησης. Περιμένω τα μηνύματά σας στο e-mail: panorea.baka@gmail.com
Πολλά ευχαριστώ στην αγαπημένη μου φίλη φωτογράφο Πένυ Παπάογλου για τις όμορφες φωτογραφίες που τράβηξε από τις συναντήσεις μας στο στούντιο. Αν σας αρέσει η δουλειά της μπορείτε να επικοινωνήσετε μαζί της στο email: pennart84@yahoo.gr